什麼是垂心？確定三角形的垂心

三角形的垂心是三個高的交點，也就是說，從三角形的每個頂點到其對邊的線的交點形成直角。高度的長度是頂部和底部之間的距離。

三角形的垂心

• 什麼是垂心？
• 如何確定三角形的垂心
• 三角形垂心的性質
• 確定並證明三角形垂心的練習

什麼是垂心？

三角形的三條高交於一點。該點稱為三角形的垂心。

具體來說：圖中的∠是三角形的高，即垂心。

如何確定三角形的垂心

為了確定三角形的垂心，我們需要找到該三角形兩條高的交點。

注意：  a) 若三角形為銳角三角形，則垂心位於三角形內部。

b) 若三角形在處為直角三角形，則垂心與點重合。

c) 如果一個三角形是鈍角三角形，那麼垂心位於三角形的外部。

三角形垂心的性質

性質1： 在等邊三角形中，質心、垂心、到三角形三個頂點等距的點、三角形內部且到三角形三邊等距的點是四個重合點。

性質2： 垂心將兩條邊的垂直平分線分成兩條等長的線段。這意味著垂心與三角形頂點的距離相同。

性質 3： 垂心是三角形外接圓的圓心，也就是說，如果我們畫一個過三角形三個頂點的圓，垂心就是圓心。

性質4： 銳角三角形的垂心位於三角形內部，鈍角三角形的垂心位於三角形外部。

性質5： 直角三角形的垂心與該直角三角形直角的頂點重合。

性質 6： 垂心是三角形中唯一的點，如果我們從垂心向三角形的頂點畫線，這些線的長度和最小。這意味著垂心比任何其他點都更靠近三角形的頂點。

性質 7：垂心也是三角形外接圓的圓心，也就是透過三角形的三個頂點可以畫出的最大的圓。

確定並證明三角形垂心的練習

例如：給定非正方形。稱為垂心。顯示三角形的高。從那裡，指出該三角形的垂心。

解決方案指南

插畫

令 為從 ΔABC 引出的垂線的腳。

考慮 ΔHBC：

所以 AD 是從 H 到 BC 的高度。

在 F 處，所以 BA 是從 B 到 HC 的高度

在 E 處，所有 CA 是從 C 到 HB 的高度。

在 A 相交，因此 A 是 ΔHCB 的垂心。

例如：給定一個直角三角形，其高為。設的中點為，的中點為。確定三角形的垂心。

解決方案指南

考慮子問題，如果三角形分別以和 AC 為中點，則和。

事實上，在射線的對面取一個點，使得

考慮三角形 AMN 和三角形 CPN。

（對面的）

，（兩邊和兩個對應角）

兩個角處於交替位置，因此

=>（兩個內錯角）

考慮三角形 BMC 和三角形 PCM。

（公分噸）

MC 是一條公共邊

，（對應邊和角）

兩個角處於交替位置，因此

我們又

考慮三角形 HAB，其具有：

（如上圖）

考慮三角形 ADE。

另一方面

是三角形ADE的高

C 是交流電和直流電的交點

=> C 是三角形 ADE 的垂心

例如：給定 A 處的比例，高度與中位數相交於 。證明併計算？

指示

插畫

因為餘額在 A 處，AM 是中位數

⇒ AM 也是 BC 對應的高度

在 M。

另一方面，所以 K 是垂心。

因此，K屬於∆ABC距C點的高程。

我們有：