什麼是實數？

什麼是實數？實數集合中有哪些數字？請閱讀下面的文章，以便更好地理解這一重要的數學知識。

實數

• 1. 什麼是實數？
• 2.實數軸
•  3. 比較實數
• 3.實數集的性質
• 4.實數的絕對值
• 5. 實數範例練習

1. 什麼是實數？

• 實數是有理數和無理數的集合。
• 集合是實數集合的符號，由實數組成。

• 有理數是寫出成分數的數（a、b ∈ Z，b ≠ 0）。例如 
• 有理數集表示為 
• 無理數是無限的、不循環的小數。例如：
• 無理數集表示為 

實數集覆蓋數軸。

例如：

2.實數軸

每個實數都由數軸上的一個點表示。

• 相反，數軸上的每個點都代表一個實數。
• 只有實數集才能填滿數軸。

 3. 比較實數

方法

• 對於任兩個實數 x、y，我們總是有 x = y 或 x < y 或 x > y
• 大於0的實數稱為正實數，小於1的實數稱為負實數。數字 0 既不是正實數也不是負實數。
• 比較正實數與比較有理數類似。
• 設 a、b 為兩個正實數，若 a > b 則 。

例如：在方格中填入適當的數字：

解決方案指南

a) -7.5(0)8 > -7.513

b) -3.02 <>

c) -0.4(9)854 <>

d) -1,(9)0765 <>

例如：以從小到大的順序排列實數

解決方案指南

將實數依照從小到大的順序排列：

例如：證明：

設 a、b 為兩個正實數，若 a > b 則

解決方案指南

如果 a > b 則

a, b 是兩個正實數，所以 a + b > 0

如果 a > b 則 a – b > 0

考慮產品

因為 a2 – b2 > 0

=> a2 > b2 => dpcm

3.實數集的性質

在集合中，我們也定義了加、減、乘、除、冪、平方根…等運算，並且在運算中，實數也具有與有理數集合中的運算相同的性質。

在實數集中，運算對於乘法具有以下性質：

• 對於所有屬性：
• 添加 0： 
• 交換律：；
• 組合屬性： 
• 交換律：a. b = b。一個
• 結合性質：（a. b）。 c = a。 （西元前）
• 乘以 1 的性質：
• 乘法相對於加法的分配律：a. （b + c）= a。 b + a。 c
• 對於每個實數 a ≠ 0，存在一個逆，使得

- 也就是說，上述計算也像其他數字集合一樣具有交換性和結合性。減法、乘法、除法也是同樣的道理…

數位集之間的關係

例如：執行計算：

解決方案指南

例如：求 x，已知：

解決方案指南

4.實數的絕對值

定義：數軸上點a到點0的距離是數a的絕對值（a為實數）。負數的絕對值是其本身，負數的絕對值是它的相反數。

概述：

• 如果
• 如果
• 如果
• 如果

自然

• 每個數字的絕對值都是非負的。
• 一般： 對於所有 a ∈ R

具體來說：

一些屬性

- 兩個相等或相反的數具有相等的絕對值，反之，兩個絕對值相等的數也相等或相反。

概述：

- 每個數字都大於或等於其絕對值的相反數，同時又小於或等於其絕對值。

概述：和

- 在兩個負數中，較小的一個具有較大的絕對值。

概述：如果

- 兩個正數中，較小的一個的絕對值也較小。

概述：如果

- 乘積的絕對值等於絕對值的乘積。

概述：

- 商的絕對值等於兩個絕對值的商數。

概述：

5. 實數範例練習

例 1：用適當的符號 ∈、∉、⊂（…）填空：

3 ….問； 3 …. R； 3…我； -2.53…Q；

0.2(35) ….我 ;否…. Z；我 …。 R.

指示

a) 3 ∈ Q； 3∈R； 3∉我； -2.53∈Q

b）0.2（35）∉I;N∈Z；我⊂R

例 2：找出集合

a）Q∩I;
b）R∩I。

指示

a）Q∩I=Ø；
b) R ∩ I = I。

例3：在(…)中填入適當的數字 

a）-3.02<-=""3，=""…="">

b）–7.5 … 8 > –7.513

c) – 0.4 … 854 < –="">

d) -1，… 0765 < –="">

指示

a)-3.02 < –="">
b）-7,508 > -7,513;
c) – 0.49854 < –="" 0.49826="">
d) -1.90765 < –="">

例 4：求 x，已知：

3.2.x + (-1.2).x +2.7 = -4.9；

指示

3.2. x + (-1,2).x + 2,7 = -4,9

[3,2 + (-1,2)].x + 2,7 = -4,9.

2.x + 2.7 = -4.9。

2.x = –4.9 – 2.7

2.x = -7.6

x = -7.6 : 2

x = -3.8

除了實數之外，您還可以了解數學中的其他定義，例如平方數，無理數，有理數，素數，自然數...