什麼是有理數？什麼是無理數？

有理數和無理數的定義和公式是數學中的重要知識，學生必須了解才能打下堅實的數學基礎。以下的文章向大家介紹有理數和無理數的定義、性質以及數學形式。請參考一下。

有理數，無理數

• 什麼是有理數？
  • 有理數的分類
  • 在數軸上表示有理數
  • 有理數的加減
  • 有理數的乘除
  • 有理數的絕對值
  • 比較兩個有理數
  • 有理數冪的計算公式
• 什麼是無理數？
  • 無理數的概念
  • 無理數的性質
• 有理數和無理數有什麼差別？
• 數位集的關係
• 有理數練習

什麼是有理數？

- 有理數是可以寫成分數（商數）的數字集合。也就是說，一個有理數可以用一個無限循環小數來表示。

- 有理數寫為，其中 a 和 b 是整數，但 b 必須不同於 0。

- 是有理數的集合。

=> 有理數集： 。

例如：， ，… 都是有理數。

• 任何整數 a 都是有理數，因為整數 a 可以寫成 的形式。

例如：我們有有理數。

我們有：

評語： 都是有理數。

有理數的分類

有理數分為負有理數和正有理數兩種。具體來說：

• 負有理數：包括小於0的有理數。
• 正有理數：包括大於0的有理數。

注意：數字 0 既不是負有理數，也不是正有理數。

自然

• 有理數集是可數集。
• 交換律：
• 具有 0 的加法性質：
• 組合屬性：

在數軸上表示有理數

- 為了在數軸上表示有理數，我們遵循以下因素：

步驟 1：將有理數寫成分數

第二步：將單位線段b等分，得到一個新的單位段，單位段即為舊單位。

步驟3：有理數用點A表示，該點距離點0有一個新的單位。

• 如果 A 為負數，則位於 0 左側。
• 如果 A 是正數，則位於 0 的右邊。

例如：圖中P點代表有理數：

指示

單位線段分成6等份（新單位是舊單位的1/6）

點 P 距點 O 7 個新單位。

點P位於點O的右邊，所以P是一個正有理數。

所以P代表有理數。

有理數的加減

i) 兩個有理數的加減規則

我們可以將兩個有理數 x 和 y 寫成兩個分數，然後應用分數加減規則來對它們進行加減運算。

我們有：

ii) 屬性

- 有理數加法具有分數加法的性質：交換律、結合律、與 0 加法、與相反數加法。

- 我們有：

a）交換律：

b）關聯性質：

c) 新增 0：

d) 加相反數：

iii、過渡規則

當將一個項從等式的一邊移到另一邊時，我們必須改變該項的符號。

在 Q 中，我們有一個代數和，其中我們可以交換項，放入括號以像整數集合中的代數和一樣任意分組項。

• 如果那麼
• 我們有：

有理數的乘除

i) 兩個有理數的乘除規則

- 我們可以將兩個有理數寫成分數，然後應用分數乘除的規則來進行乘除。

• 我們有：
• 我們有：

例如：

有理數相乘： 

有理數相除： 

ii) 屬性

- 有理數乘法也具有與分數乘法相同的性質：交換律、結合律、乘以 1 、乘法對加法的分配律。

- 每個非零有理數都有一個逆。

- 我們有：

• 交換律： 。
• 結合性質： 。
• 乘以 1 的性質：。
• 分配屬性： 。
• 和 。 a 的倒數是 。

有理數的絕對值

- 有理數a的絕對值，用表示，是數軸上點a到點0的距離。

例如：

（因為 ）

（因為 ）

比較兩個有理數

- 對於任意 2 個有理數，我們總是存在 或 。

- 為了比較兩個有理數，我們執行以下操作：

• 寫成兩個具有相同正分母的分數：
• 將分子作為整數 a、b 進行比較：

例如：比較兩個有理數：和

我們有：

因為它很好。

有理數冪的計算公式

你需要記住的有理數冪的計算公式

• 兩個同底數冪的乘積：
• 權力的力量
• 產品的力量
• 商數的冪

什麼是無理數？

無理數的概念

• 提到有理數，就不能不提到無理數。這些數字以無限不循環小數的形式寫出，以 表示。
• 非有理數的實數不能表示為比率。

例如： 3.145248…是一個無理數。

無理數的性質

無理數集是不可數集。

例如：

無理數：0.1010010001000010000010000001…（這是無限不循環小���）

平方根的數量：√2（平方根）

圓周率 (π): 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50 288…..

有理數和無理數有什麼差別？

• 有理數包含無限循環小數，無理數是無限不循環小數。
• 有理數只是分數，而無理數則有許多不同類型的數字。
• 有理數是可數，無理數是不可數。

數位集的關係

數字集的符號：

• N：自然數集
• N*：0 以外的自然數集合
• Z：整數集
• Q：有理數集
• I：無理數集

我們有：R = Q ∪ I。

設定 N； Z;問； R.

則數集之間的包含關係就是：N⊂Z⊂Q⊂R

有理數練習

形式 1：進行涉及有理數的計算

解法：解有理數計算題，先將有理數化為分數，再運用有理數的加、減、乘、除的計算規則。

範例：計算  

答：

形式 2：在數軸上表示有理數

答：需要判斷該有理數是正有理數還是負有理數，然後再繼續下面的步驟：

• 若有理數 a/b 為正有理數：在數軸上，以正方向，將 1 單位的長度分成 b 等份。然後在牛軸正方向取一點，指向一部分，確定有理數a/b的位置。
• 若有理數a/b為負有理數：在數軸上，沿軸的負方向，將1個單位的長度分成b等份。然後在牛軸負方向取一點，指向一部分，確定有理數a/b的位置。

形式 3：比較有理數

答：將給定的有理數轉換成相同正分母的分數，然後比較分子。更高級的是，我們可以與中間分數進行比較來找到答案。

形式 4：判斷有理數是負數、正數還是 0

解答方法：解答第四類練習，學生需要根據有理數的性質，判斷有理數是負數、正數還是0。

例如：給定有理數 x = (a – 25)/29，確定 a 的值以滿足：

• x 為負數
• x 為正數
• x = 0

答：

x 是負數 => (a – 25)/29 < 0=""> a – 25 < 0=""> a <>

x 為正數 => (a – 25)/29 > 0 => a – 25 > 0 => a > 25

x = 0 => (a – 25)/29 =0 0 => a – 25 = 0 => a = 25

形式五：根據給定條件，在區間內尋找有理數

答：如果題目要求根據給定的條件找出某個區間內的有理數，就需要把有理數放到同一個分子或分母中才能找到答案。

例：求大於和小於的 m 值

解答指南

將分數轉換為公分母，如下所示：

共同點：18

根據問題我們有：

形式 6：用有理數求 x

解決數學問題的方法：對於用有理數求 x 的數學問題，需要進行公分母約化並將 x 轉換為一側，其餘項轉換為 1。從那裡計算 x 的值

例如：已知 x 求 x 。 （2/3）+5/6=1/8

答：

x 。 （2/3）+5/6=1/8

=> x 。 （2/3）=1/8+5/6

=> x = 46/48:2/3

=> x = 23。 3 / 24。 2

=> 23/16

形式 7：求 a 使得表達式為整數

解決數學問題的方法：對於求a的問題，如果分子不包含a，則需要使用整除符號。如果分子包含 a，則使用可除性符號或用分母分隔分子。若題目要求同時求a和b，則將a或b分組，並轉換為分數形式計算。

例：求整數 a，條件是 8/(a – 1) 為整數

答：

條件：a – 1 ≠ 0 => a ≠ 1

設 a 為整數 => 8 能被 (a - 1) 整除

=> (a – 1) 是 8 的因數 => U(8) = {-8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8}

=> (a - 1) = {-8, -4, -2, -1, 2, 4, 8}

=> a = {-7, -3, -1, 0, 3, 5, 9}

希望以上文章能幫助您了解什麼是有理數，什麼是無理數，有理數的類型，什麼是有理數符號，以及如何識別有理數以輕鬆解決問題。

除了上面關於無理數和有理數的知識之外，還可以參考一些其他的數學知識例如分數、帶分數、小數…