如何解二次方程

解二次方程

• A. 什麼是二次方程式？
• B. 解二次方程
• C. 心算二次方程
• D. 使用 Viet-et 公式
  • 韋達定理
  • Viet-et 逆定理
• E. 解二次方程式的例子
• F. 因式分解
• G. 解含參數的二次方程

A. 什麼是二次方程式？

二次方程式是形式為 (a≠0) (1) 的方程式。

x 是未知變量，且只有 1 個未知數，因此也稱為「單變量」方程式。數字 a、b、c 是已知數，稱為方程式的係數；可以分別稱它們為：二次係數，一次係數和自由或常數係數來區分。

二次方程是一種多項式方程，它只包含 x 的冪，即自然數。

解二次方程式就是求出x的值，使得當x代入方程式（1）時，滿足ax2+bx+c=0。解決二次方程式的常用方法有四種：因式分解；平方根法；使用根公式；圖形。

B. 解二次方程

步驟 1：計算Δ=b2-4ac

步驟 2：將 Δ 與 0 進行比較

• Δ < 0=""> 方程式（1）無解
• Δ = 0 => 方程式 (1) 有雙重解
• Δ > 0 => 方程式 (1) 有兩個不同的解，我們使用以下解公式：

和

C. 心算二次方程

• 如果方程式有a + b + c = 0，則方程式有解。
• 若方程式有a - b + c = 0則方程式有解：

D. 使用 Viet-et 公式

韋達定理

如果是方程式的解，那麼

Viet-et 逆定理

如果存在兩個數，那麼它們就是方程式的解，（存在時）

E. 解二次方程式的例子

例 1：解下列二次方程式：x2 - 49x - 50 = 0

解決方案指南

方法 1：使用根公式（a = 1；b = -49；c = -50）

因為 ∆ > 0，所以方程式有兩個不同的解。

方法二：心算

因為 a – b + c = -1 – (-49) + (-50) = 0

所以方程式有兩個解。

方法 3：

根據 Viet 定理，我們有：

所以方程式有兩個解：

例 2：解方程式 4x2 - 2x - 6 = 0 (2)

Δ=(-2)2 - 4.4.(-6) = 4 + 96 = 100 > 0 => 給定方程式 (2) 有 2 個不同的解。

和

你也可以用心算快速算出答案，因為你看到 4-(-2)+6=0，所以 x1 = -1，x2 = -c/a = -(-6)/4=3/2。解決方法和上面一樣。

例 3：解方程式 2x2 - 7x + 3 = 0 (3)

計算 Δ = (-7)2 - 4.2.3 = 49 - 24= 25 > 0 => (3) 有 2 個不同的解：

和

要檢查您是否正確計算了答案，非常簡單，只需依次將 x1、x2 代入公式 3 中，如果結果為 0，則說明正確。例如，替換x1，2.32-7.3+3=0。

例 4：解方程式 3x2 + 2x + 5 = 0 (4)

計算Δ=22-4.3.5=-56<0="">方程式(4)無解。

例 5：解方程式 x2 – 4x +4 = 0 (5)

計算 Δ = (-4)2 - 4.4.1 = 0 => 方程式 (5) 有雙重解：

實際上，如果你思維敏捷，你也能看出這是容易記住的恆等式 (ab)2 = a2 - 2ab + b2，因此很容易將 (5) 重寫為 (x - 2)2 = 0 <=> x=2。

F. 因式分解多項式

如果方程式 (1) 有兩個不同的解 x1、x2，則總是可以將其寫成以下形式：ax2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2) = 0。

回到方程式（2），找到2個解x1，x2後，可以寫成如下形式：4(x-3/2)(x+1)=0。

G. 解含參數的二次方程

1. 有解方程

2. 無解方程

3. 方程式有唯一解（雙重解或兩個相等的解）

4. 此方程式有兩個不同的解。

5. 此方程式有兩個同符號的解。

6. 此方程式有兩個符號相反的解。

7. 方程式有兩個正根（兩個大於0的根）

8. 此方程式有兩個負根（兩個小於0的根）

9. 這個方程式有兩個相反的解。

10. 兩個逆解

要記住的事：

除了二次方程式之外，還有越南定理，它有許多應用，例如心算上述二次方程式的根、在知道和與乘積的情況下找到兩個數字、確定根的符號或分解因式。這些都是你在學習代數的過程中，或者在以後解決和討論二次方程式的練習中會涉及到的必要知識，所以你需要仔細記住它並熟練地練習它。

如果您打算學習編程，您還需要具備基本的數學知識，甚至高級數學知識，這取決於您要做的專案。