正方形對角線和長方形對角線計算公式

如何計算正方形的對角線，如何計算長方形的對角線在數學問題和實際應用中有很多用處，例如設計和施工、切角、測量……Quantrimang.com 整理了關於兩條對角線的性質以及計算公式，請參考應用於學習、生活和工作中。

目錄

• 正方形和長方形的對角線是多少？
• 如何計算正方形的對角線
  • 正方形對角線的性質
  • 正方形對角線計算公式
  • 計算正方形對角線的範例 
• 如何計算矩形的對角線
  • 矩形對角線的性質
  • 計算矩形對角線的公式
  • 計算矩形對角線的範例 
  • 證明四邊形是矩形的例子。

正方形和長方形的對角線是多少？

正方形或長方形的對角線是連接兩個對角線的線。每個正方形和長方形都有兩條等長的對角線。

如何計算正方形的對角線

正方形對角線的性質

• 正方形的兩條對角線長度相等、垂直，且相交於各自的中點。
• 有一個內切圓和一個外切圓，兩個圓的圓心重合，並且是正方形兩條對角線的交點。
• 1 條對角線將正方形分成兩個直角等腰三角形。
• 角平分線、中線、垂直平分線的交點都重合一點。
• 具有矩形、平行四邊形和菱形的所有屬性。

正方形對角線計算公式

根據正方形的性質，正方形的兩條對角線相等，且正方形的一條對角線會把正方形分成兩個面積相等的部分，也就是兩個等腰直角三角形。因此，正方形的對角線是兩個等腰直角三角形的斜邊。

因此，要計算正方形的對角線，只需將勾股定理應用於直角三角形即可。

假設有正方形ABCD，邊長為a，對角線AC將正方形分成兩個直角三角形ABC和ACD。

將勾股定理應用到直角等腰三角形 ABC 中：

⇒ ⇒

所以正方形的對角線邊長為 a：

計算正方形對角線的範例 

例 1： 一個正方形的邊長為 3 公分。此正方形的對角線是：6cm、√18cm、5cm還是4cm？

解決方案：

a) 施加正方形 ABC 的勾股定理，可得：

AC² = AB² + BC² = 3² + 3² = 18

=> AC = 厘米

所以正方形的對角線是√18公分。

範例 2：

正方形的對角線為2dm。此正方形的邊長是：1cm、3/2cm、√2cm 還是 4/3cm？

獎：

將勾股定理應用於直角三角形 ABC，但本練習給出對角線的長度，即 AC = 2cm，計算邊 AB。

我們有：AC² = AB² + BC² = 2AB（因為 AB = BC）

=> AB² = AC²/2 = 2²/2 = 2

=> AB = √2

如何計算矩形的對角線

矩形是具有四個直角的凸四邊形，它是具有兩條相等對角線的平行四邊形。

矩形對角線的性質

矩形的對角線具有幾個重要屬性，有助於解決涉及矩形及其對角線的問題。

• 矩形的對角線長度是直角三角形的斜邊，因此它等於兩邊平方和的平方根。
• 對角線將矩形分成兩個面積相等的直角三角形。因此，矩形的對角線是矩形的對稱軸。
• 矩形的兩條對角線相等，並相交於每條線的中點，形成 4 個等腰三角形。

計算矩形對角線的公式

根據上面矩形對角線的性質，我們可以利用勾股定理計算出矩形對角線的長。

假設有一個矩形 ABCD，長度為 a，寬度為 b，對角線為 AC，如下圖所示。

我們將勾股定理應用於直角三角形 ABC：

⇒ ⇒

因此，長為a、寬為b的矩形的對角線為：

因此，矩形對角線的長度等於矩形兩邊（長度和寬度）的平方和的平方根。

因此，我們只要應用勾股定理就可以計算出正方形或矩形的對角線。

計算矩形對角線的範例 

計算長為10dm、寬為5dm的矩形的對角線長。

解決方案：

設矩形對角線的長為a（a>0，dm）

應用勾股定理，矩形對角線的長度為：

a2 = 102 + 52 = 125

=> a = 5√5 分米

證明四邊形是矩形的例子。

矩形對角線的性質和計算公式可以用來解決一些證明四邊形是矩形的問題。

已知四邊形ABCD有兩條相互垂直的對角線。設 E、F、G、H 分別為邊 AB、BC、CD、AD 的中點。四邊形EFGH是什麼形狀？為什麼？

解決方案：

因為 E 是 AB 的中點，所以 H 是 AD 的中點

=> EH 是三角形 ABD 的中線。

（1）

因為 F 是 BC 的中點，所以 G 是 CD 的中點

=> FG 是三角形 BCD 的中線

（2）

由 (1) 和 (2) =>

考慮四邊形 EFGH。

FG // EH

FG=EH

=> EFGH 是平行四邊形（識別符號）

另一方面：

還有：

E是AB的中點，F是BC的中點。

=> EF 是三角形 ABC 的中線

=> EF // AC

但是 EH ⊥ AC => EH ⊥ EF

平行四邊形 EFGH 有直角

=> EFGH 是一個矩形