旋轉體體積計算公式及範例

什麼是旋轉塊？如何計算旋轉體的體積？

旋轉體是將平面繞固定軸旋轉而形成的形狀，例如旋轉圓錐、旋轉圓柱體、旋轉球等。下面是旋轉體體積的計算公式，請參考。

目錄

• 計算繞牛軸旋轉的圓形塊的體積
• 計算繞 Oy 軸旋轉的圓形塊的體積
• 計算旋轉體體積的例子

計算繞牛軸旋轉的圓形塊的體積

若圓形塊繞Ox軸旋轉，可以套用下列公式計算旋轉圓形塊的體積：

案例 1：旋轉圓形方塊由下列物件建立：

• 直線 y=f(x)
• x軸y=0
• x=a; x=b

那麼，計算體積的公式是：

情況 2：旋轉塊由以下方式建立：

• 直線 y=f(x)
• 直線 y=g(x)
• x=a; x=b

那麼計算旋轉體體積的公式將是：

和

計算繞 Oy 軸旋轉的圓形塊的體積

若圓形塊體繞Oy軸旋轉，可應用下列公式計算旋轉圓形塊體的體積：

案例 1：旋轉塊由以下方式建立：

• 線 x=g(y)
• 垂直軸（x=0）
• y=c； y=d

那麼計算旋轉體體積的公式將是：

案例 2：旋轉塊由

• 直線 x=f(y)
• 方程式 x=g(y)
• y=c； y=d

那麼旋轉體的體積將是：

和

旋轉體體積計算公式總表：

1.區域S繞Ox旋轉產生的Vx：

食譜：

2.區域S繞Ox旋轉產生的Vx：

食譜：

計算旋轉體體積的例子

例 1： 

計算由曲線y=sinx、x軸和兩條直線x=0、x=π（畫出）所限定的平面圖形繞Ox軸旋轉得到的旋轉體的體積。

解決方案

應用上述定理中的公式，我們得到

範例 2： 

計算曲線與x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉所得到的旋轉體的體積。

獎：

我們看到：

因此，對於所有 x，這都是以 O 為中心、半徑為 R = A 的半圓方程，位於 Ox 軸上方。當繞Ox軸旋轉時，平面形狀將形成以O為中心，半徑R=A的球體（圖）。所以我們總是

 

所以對於這一類的問題，我們不需要寫出積分公式，而是可以根據計算球體體積的公式來得出結論。

範例 3： 

計算位於兩個平面 x = 0 和 x = 1 之間的物體的體積，已知物體被垂直於 Ox 軸的平面 (P) 在橫座標為 x(0≤x≤1) 處切割的橫截面為一個矩形，其兩條邊長分別為 x 和 ln(x2+1)。

獎： 

因為橫截面是矩形，所以橫截面積為：

我們需要計算體積

例 4：給定一個由直線 y = 3x 圍成的平面圖形； y = x; x = 0； x = 1 繞 Ox 軸旋轉。計算所得旋轉體的體積。

獎：

直線 x = 1 與 y = x 和 y = 3x 的交點座標分別為點 C(1;1) 和 B(3;1)。直線 y = 3x 與 y = x 的交點座標為 O(0;0)。

因此要計算的旋轉固體的體積為：

例 5：給定一個由直線 y = 2x2 圍成的平面圖形； y2 = 4x 繞牛軸旋轉。計算所得旋轉體的體積。

獎：

具有等效時態。直線與 的交點座標為點 O(0;0) 與 A(1;2)。

因此要計算的旋轉固體的體積為：

對於需要計算旋轉體體積的問題，只需要針對每種情況使用正確的公式，並在確定極限時注意即可解決。祝你好運！