組合、排列和置換的公式

計算組合和排列的公式是什麼？本文將指導您如何計算組合和其他相關公式。

排列和組合是數學中最基本的概念，涉及從一組或一組中選擇項目。

• 排列是按照從給定組中選擇的順序排列項目。
• 組合是不考慮順序地選擇項目。

目錄

• 組合公式
• 置換公式
• 排列 

組合公式

給定一個有 n 個元素的集合 A，並給定一個整數 k，(1 ≤ k ≤ n)。 A 中每個含有 k 個元素的子集稱為 A 中 n 個元素的 k 重組合。

n的k組合公式

組合屬性的公式：

組合學的例子

例 1： 

一組12名學生。有多少種方法：

a) 為小組選出 2 位代表

b) 選出2人，分別擔任組長、副組長。

c) 將小組分成2個小組，組長和副組長在不同的小組。

解決方案

a) 從 12 位朋友中選出 2 位朋友，這 12 位朋友是 2 到 12 的組合：C122 = 66 種方式。

b) 選擇 2 個人並指定他們組合 12 個中的 2 個的位置：A122 = 132 種方法。

c) 將團體分成2組，每組6名成員。

其中隊長和副隊長在不同的組別。

從剩下的 10 個朋友中選擇 5 個朋友與隊長分在同一組：C105 = 252 種方式。

從剩餘5人中選出5人與副組長分在同一組：C55=1種方式。

因此共有 252.1 = 252 種方法。

置換公式

給定一個有 n 個元素的集合 A，並給定一個整數 k，(1 ≤ k ≤ n)。當我們取 A 中的 k 個元素並按一定順序排列時，我們得到 A 中 n 個元素的 k 重擾動（稱為 A 的 k 重擾動）。

具有 n 個元素的集合的 k 個排列的數量為：

置換公式：

• 一些約定：0！ = 1，An0 = 1，Ann = n！
• 特點：這是一個有序排序，待排序元素個數為k：0≤k≤n。

例如： 

從數字 0 到 9。有多少種方法可以組成一個自然數，使得：

a) 有 6 位不同數字的數字

b) 一個有 6 位不同數字且能被 10 整除的數字

c) 奇數有 6 個不同的數字。

解決方案

a) 建立一個有 6 個不同數字的數字

從 1 到 9 中選擇第一位數字：有 9 種選擇方式

其餘數字為其餘 9 個數字（除第一位數字外）與 A95 的第 5 次排列

因此有 9A95 = 136080 個數字。

b) 一個有 6 位不同數字且能被 10 整除的數字

選擇個位數：有1種方法可以選擇數字0

選擇剩餘的數字作為剩餘 9 個數字（除數字 0 外）與 A95 的第 5 次排列

因此有 A95 = 15120 個數字。

c) 設數字為奇數，由 0 至 9 之間的數字組成，有 6 個不同的數字。

因為它是奇數，所以 f ∈{1; 3； 5； 7； 9}

選擇f：有5種方式可供選擇

從數字{1;中選出一個2； 3； 4； 5； 6； 7； 8； 9}\{f}：有 8 種方法可供選擇

選擇 b、c、d、e 作為剩餘 8 位數字（f 和 a 除外）的 4 複數：我們有 A84

因此有 5.8A84 = 67200 個數字。

排列

a)定義：

- 給定一個由 n 個元素組成的集合 A（n ≥ 1）。

對集合 A 中的 n 個元素進行排序後的每個結果稱為 n 個元素的一個排列。

- 注意：n 個元素的兩種排列僅在排列順序上有所不同。

b) 排列數：

- 符號 Pn 是 n 個元素的排列數。

置換公式：

Pn = n(n - 1)…2.1 = n!

約定：0！ = 1； 1！ = 1。

例如： 將 10 個人（包括 5 個男孩和 5 個女孩）安排在長凳上。有多少種排列方式可以使得：

a) 排序任意

b) 男孩們坐在一起

c) 男孩和女孩輪流坐。

解決方案

a) 將 10 個人安排在長凳上的方式數是 10:10 的排列！

b) 讓男孩們坐在一起。我們把 5 個男孩放入一個「捆」：一共有 5 個！如何安排「捆綁」內部

然後將 5 個女孩排列成「一串」在長凳上，人數為：6！如何安排

所以有 5 個！ 。 6！ = 86400 種讓男孩們坐在一起的方法。

c) 假設有 10 個人坐在 1 到 10 的長椅上。

男孩和女孩交替

+ 案例 1：男生坐奇數位置，女生坐偶數位置

安排男孩的方式數：5！

安排女孩的方式數：5！

所以有 5 個！ 。 5！如何安排

+ 案例 2：男生坐偶數位置，女生坐奇數位置

與上述情況類似，我們有 5！ 。 5！如何安排

所以有 2.5！ 。 5！ = 28800 種排列方式。

排列和組合之間的區別

排列和組合的差異可以透過下表來理解：

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