什麼是偶函數？什麼是奇函數？

什麼是偶函數？不僅是偶函數，奇函數也備受關注。讓我們一起來了解這兩個概念吧！

數學中，函數依其軸對稱性可分為偶函數和奇函數。偶函數是當輸入為負時保持不變的函數（x 和 -x 的輸出相同），反映了圍繞 y 軸的對稱性。另一方面，當奇函數的輸入為負數時，奇函數變為負，表現出圍繞原點的對稱性。對於 f 的定義域內的所有 x，若 f(-x) = f(x)，則函數 f 為偶函數。如果對於 f 的定義域內的所有 x，f(-x) = -f(x)，則函數 f 為奇函數，即：

• 偶函數：f(-x) = f(x)
• 奇函數：f(-x) = -f(x)

在本文中，我們將詳細討論偶函數和奇函數、偶函數和奇函數的定義、三角學中的偶函數和奇函數、偶函數和奇函數的圖形以及您需要了解的許多其他內容和資訊。

目錄

• 什麼是偶函數？
• 什麼是奇函數？
• 偶函數和奇函數的圖
• 既不是偶函數也不是奇函數是什麼？
• 記住一個常見的奇偶函數
• 如何確定偶函數和奇函數
• 函數奇偶性的練習

什麼是偶函數？

如果函數 y = f (x) 的定義域為 D，則稱為偶函數，如果它滿足以下兩個條件：

• ∀ x ∈ D ⇒ − x ∈ D
• ∀ x ∈ D : f ( − x ) = f ( x )

例如：函數 y = x² 是偶函數。

什麼是奇函數？

若函數 y = f ( x ) 的定義域為 D，則稱為奇函數：

• ∀ x ∈ D ⇒ − x ∈ D
• ∀ x ∈ D : f (−x)= − f(x)

例： 例：函數 y = x 是奇函數。

注意力。第一個條件稱為關於 0 的區域對稱條件。

例如，D = (-2;2) 是關於 0 對稱的集合，而集合 D' = [-2;3] 不關於 0 對稱。

集合 R = (−∞;+∞) 是對稱集合。

注意：函數不一定是偶函數或奇函數。

例如：函數 y = 2x + 1 既不是偶函數也不是奇函數，因為：

在 x = 1 處，有 f(1) = 2.1 + 1 = 3

在 x = -1 處，我們有 f(-1) = 2.(-1) + 1 = -1

→ 兩個值 f(1) 和 f(-1) 既不相等也不相反。

偶函數和奇函數的圖

甚至函數也有以 y 軸為對稱軸的圖形。

奇函數具有以原點 O 為對稱中心的影像。

既不是偶函數也不是奇函數是什麼？

並非每個函數都可以定義為偶函數或奇函數。有些函數既不是偶函數也不是奇函數，例如：y=x²+x，y=tan(x-1)，…

此外，還有一個特殊類型的函數，它既是偶函數，也是奇函數。例如，函數 y=0

記住一個常見的奇偶函數

偶函數

y = ax2 + bx + c 當且僅當 b = 0

二次函數

y = cosx

y = f(x)

奇函數

y = ax + b 當且僅當 b = 0

y = ax3 + bx2 + cx + d 當且僅當 b = d = 0

y=sinx； y=tanx； y = cotx

其他一些案例

F(x)為偶函數，若其定義域上有導數，則其導數為奇函數。

F(x)為奇函數，若在其定義域上有導數，則其導數為偶函數。

奇數次多項式函數不是偶數函數。

偶數次多項式函數不是奇函數。

如何確定偶函數和奇函數

為了確定奇偶函數，我們執行以下步驟：

步驟 1：找到域：D

如果 ∀x ∈ D ⇒ -x ∈ D 轉到步驟三

如果 ∃ x0 ∈ D ⇒ -x0 ∉ D，則該函數既不是偶函數也不是奇函數。

第 2 步：用 -x 取代 x 並計算 f(-x)

步驟 3：檢查符號（比較 f(x) 和 f(-x)）：

° 若 f(-x) = f(x) 則函數 f 為偶函數

° 如果 f(-x) = -f(x) 則函數 f 為奇函數

° 其他情況：函數 f 無奇偶性

函數奇偶性的練習

第 4 課第 39 頁代數 10 教科書：考慮下列函數的奇偶性質：

a）y = |x|；

b）y=（x+2）2；

c）y=x3+x；

d) y = x2 + x + 1。

獎

a) 設 y = f(x) = |x|。

° TXĐ：D = R 因此對 ∀x ∈ D 則 –x ∈ D。

° f(–x) = |–x| = |x| = f(x)。

→ 所以函數 y = |x|是偶函數。

b) 設 y = f(x) = (x + 2)2。

° TXĐ：D = R 因此對 ∀x ∈ D 則 –x ∈ D。

° f(-x) = (-x + 2)2 = (x - 2)2 ≠ (x + 2)2 = f(x)

° f(–x) = (–x + 2)2 = (x – 2)2 ≠ – (x + 2)2 = –f(x)。

→ 所以函數 y = (x + 2)2 既不是偶函數也不是奇函數。

c) 設 y = f(x) = x3 + x。

° TXĐ：D = R 因此對 ∀x ∈ D 則 –x ∈ D。

° f(–x) = (–x)3 + (–x) = –x3 – x = – (x3 + x) = –f(x)

→ 所以 y = x3 + x 是一個奇函數。

d) 設 y = f(x) = x2 + x + 1。

° TXĐ：D = R 因此對 ∀x ∈ D 則 –x ∈ D。

° f(-x) = (-x)2 + (-x) + 1 = x2 - x + 1 ≠ x2 + x + 1 = f(x)

° f(-x) = (-x)2 + (-x) + 1 = x2 - x + 1 ≠ -(x2 + x + 1) = -f(x)

→ 所以函數 y = x2 + x + 1 既不是偶函數也不是奇函數。

R 上是否定義了一個既是偶函數又是奇函數的函數？ …

獎：

容易看出，函數 y = 0 是在 R 上定義的函數，既是偶函數，也是奇函數。

假設函數 y = f (x) 是具有此類性質的任何函數。然後對於 R 中的每個 x 我們有：

F (-x) = f (x)（因為 f 是偶函數）；

F (–x) = – f (x)（因為 f 是奇函數）。

由此我們可以推斷，對於 R 中的每個 x，f(x)=−f(x)，即 f(x)=0。因此 y=0 是 R 上定義的唯一函數，它既是偶函數又是奇函數。

關於偶函數和奇函數的常見問題

什麼是偶函數和奇函數？

如果對其定義域中的所有 x，f(x) = f(−x)，則偶函數關於 y 軸對稱。奇函數關於原點對稱，即對於其定義域內的所有 x，f(−x) = −f(x)。

如何知道一個函數是偶函數還是奇函數？

如果 f(-x) = f(x)，則函數為偶函數；如果對於 f 的定義域中的所有元素，f(-x) = -f(x)，則函數為奇函數。如果它不滿足任何這些屬性，那麼它既不是奇數也不是偶數。

奇數週期函數和偶數週期函數有什麼不同？

奇數週期函數和偶數週期函數的區別：偶函數對定義域中的所有 x 滿足 f(−x) = f(x)，而奇函數滿足 f(−x) = −f(x)。

除了偶函數和奇函數之外，您還可以在Quantrimang.com 的教育部分學習一些其他重要的數學知識，例如平方數、無理數、有理數、素數、自然數…。